圆周长的公式是怎么推导出来的

Answer 1

没有什么推导过程，圆周率就是这么定义的。或者说，这是个大家都承认的事实（公理），你要是实在不相信，好像也没有什么方法证明这个事情。（如果你不相信1+1=2，也没法证明给你看1+1=2）

在古代，这个问题几乎是依赖于对实验的归纳。人们在经验中发现圆的周长与直径有着一个常数的比，并把这个常数叫做圆周率（西方记做π）。于是自然地，圆周长就是：C = π * d 或者C=2*π*r（其中d是圆的直径，r是圆的半径）。

割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有。然而必须看到，它很大程度上只是计算圆周率的方法，而圆周长是C = π * d似乎已经是事实了，这一方法仅仅是定出π的值来。仔细想想就知道这样做有问题，因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径，更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的。

如果一定要你写推导过程

你可以用微积分相关的内容退出圆周长的公式，可是三角函数等等本来就建立在圆的周长、半径以及π的基础上，循环论证其实也站不住脚。

Answer 2

圆周长公式，很明显，是典型的经验公式。
如果一定要说推导，那只能从相似型的基本原理入手，因为所有的圆都是相似型，而相似型的对应长度必然成一定比例。所谓的π ，正是对其中直径与周长比值的计算而已。
这是首先得搞明白的一点，即π到底是怎么来的。
至于说到三角函数理论中，用到了π ，其实只是对上述结论的引用而已。也就是说，三角函数理论已经隐含了，周的周长，与直径，成固定比值π 这一前提。故所谓用三角函数“证明”圆的周长公式，其实只是逻辑上的反推导而已，不能被称为是证明。
至于说到用微积分理论，加上周的长公司这一公式为前提条件，推导出圆的面积公式，此说法成立。

Answer 3

古代是做实验，发现规律。
在三角函数出现后，有严格证明：
这是积分的结果
x = r * Cosm
y = r * Sin m
m∈[0, 2π]
于是圆周长就是
C = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dm，m从0积到2π.
=∫ rm从0积到2π
=2πr
此处，三角函数的定义应按收敛的幂级数或积分来定义而不依赖于几何，此时圆周率就是由三角函数周期性得到的常数

Answer 4

通过扩大内接多边形的边数，发现边数越多，越接近圆的周长。（π越准确）并且发现圆的半径和周长之间存在着2πr的关系

Answer 5

1+1＝2就是1份加1份等于2份